SUBBAB 5: Operator Turunan Kedua

Setelah selesai mempelajari materi, mahasiswa diharapkan mampu mengenal dan memahami konsep operator turunan kedua untuk pendeteksian tepi.

Salah satu pendekatan untuk mendeteksi tepi adalah dengan menggunakan turunan kedua dari citra. Turunan kedua sendiri tidak secara langsung menunjukkan puncak perubahan. Namun, zero-crossing dari hasil turunan kedua (yaitu titik di mana nilainya berubah dari positif ke negatif atau sebaliknya) dapat diperkirakan sebagai lokasi tepi objek, yaitu perubahan intensitas yang paling tajam. Jika turunan pertama digunakan untuk mengetahui seberapa cepat perubahan intensitas terjadi (misalnya dari gelap ke terang), maka turunan kedua digunakan untuk mengetahui di mana perubahan tersebut mencapai titik maksimum atau minimum yang ditandai dengan zero-crossing.

Analogi Sederhana:

Bayangkan kamu sedang berjalan naik gunung seperti pada Gambar 5.1. Kalau turunan pertama memberi tahu kamu seberapa curam tanjakannya, maka turunan kedua memberitahu di mana tanjakan itu mulai berubah, misalnya:

• dari menanjak → jadi datar
• dari datar → jadi menurun

Gambar 5.1 Ilustrasi analogi turunan pertama dan kedua

Kesimpulan:

• Turunan pertama = menunjukkan seberapa curam lereng yang sedang kamu daki atau turuni. Bayangkan kamu sedang berjalan di sebuah bukit. Jika lerengnya curam, berarti perubahan ketinggian terjadi dengan cepat, ini seperti perubahan intensitas cahaya yang tajam dalam sebuah citra. Dalam konteks pengolahan citra, turunan pertama digunakan untuk mengukur kecepatan perubahan intensitas pada setiap piksel. Nilai yang tinggi menandakan transisi yang cepat dari terang ke gelap atau sebaliknya, yang menunjukkan adanya kemungkinan tepi.
• Turunan kedua = menunjukkan bagaimana kemiringan lereng itu sendiri berubah. Kembali ke analogi bukit: ketika kamu mendaki, ada titik di mana tanjakan mulai berkurang hingga akhirnya mencapai puncak bukit, saat itulah lereng berubah dari menanjak menjadi menurun. Atau sebaliknya, ketika kamu menurun dan tiba-tiba lereng mulai mendatar dan kemudian menanjak, itu adalah dasar lembah. Titik-titik seperti ini merupakan inflection points atau titik belok, dan dalam pengolahan citra, ini sering kali menjadi indikasi lokasi tepit. Turunan kedua mendeteksi perubahan arah dari gradien (turunan pertama), dan zero-crossing (titik di mana hasil turunan kedua berubah tanda) adalah cara umum untuk menemukan lokasi tepi..

Nah, dalam gambar, kita juga ingin tahu di mana perubahan besar intensitas (warna/kecerahan) terjadi secara tiba-tiba. Titik-titik inilah yang biasanya menandakan tepi objek.

Perbedaan Turunan Kedua dan Turunan Pertama

Dalam bentuk diskrit (pada gambar digital), turunan kedua didekati dengan selisih dua tingkat, contohnya:

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx f'(x+1) - 2f'(x) + f'(x-1) \]

Untuk 2 dimensi (citra digital), turunan kedua mencakup arah \( x \) dan \( y \):

\[ \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \]

Simbol \( \nabla^2 \) dikenal sebagai Laplacian.

Turunan kedua mendeteksi perubahan dari perubahan itu. Nah, ketika turunan kedua berubah tanda (misalnya dari negatif ke positif), itu disebut zero crossing. Zero Crossing berarti “perubahan tanda”, yaitu:

• 📉 Dari positif → negatif
• 📈 Atau dari negatif → positif

Dalam konteks gambar:

• Saat hasil Laplacian menunjukkan nilai berubah dari positif ke negatif (atau sebaliknya), berarti kita melewati suatu titik perubahan mendadak.
• Titik itulah yang dianggap sebagai titik tepi.

Contoh

Gambar 5.2 menunjukkan citra grayscale ukuran 4×4 dan nilai pikselnya:

Citra Grayscale 4×4	Input Matriks

Gambar 5.2 Citra grayscale 4x4 dan nilai pikselnya

Kita ambil baris pertama pada matriks piksel tersebut.

\[ [10 \quad 11 \quad 117 \quad 115] \]

Langkah 1: Hitung Turunan Pertama

Baris piksel yang kita ambil tersusun secara horizontal, maka turunan pertamanya dihitung dengan:

$$\frac{\partial f}{\partial x} \approx \frac{f(x+1, y) - f(x-1, y)}{2}$$

Forward Difference:
$$\frac{\partial f}{\partial x} \approx f(x+1, y) - f(x, y)$$

Backward Difference:
$$\frac{\partial f}{\partial x} \approx f(x, y) - f(x-1, y)$$

Hasilnya:

Langkah 2: Hitung Turunan Kedua

Turunan Kedua dihitung dengan:

f''(x) = f'(x+1) - 2f'(x) + f'(x-1)

Contoh Pendeteksian Zero Crossing

Zero crossing terjadi saat nilai berubah dari negatif ke positif atau sebaliknya. Jika terdapat hasil turunan kedua berikut: [52.5, -1.5 dan -54], maka:

[ 52.5   -1.5   -54 ]
       ↑
        Positif ke negatif
  

Maka, zero crossing terjadi antara posisi 0 dan 1. Titik tersebut adalah kandidat tepi.

Gambar 5.3 Grafik hasil turunan kedua