SUBBAB 5: Operator Turunan Kedua

Turunan pertama mengukur kecepatan perubahan intensitas, berguna untuk mendeteksi arah dan kekuatan perubahan (tepi kasar). Turunan kedua mendeteksi perubahan dari perubahan, yaitu mencari titik zero crossing (perubahan tanda) sebagai lokasi tepi yang lebih akurat.

Analogi: Turunan pertama = seberapa curam bukit
Turunan kedua = di mana tanjakan berubah arah (puncak atau lembah)

Perbedaan Utama:

Zero Crossing: Titik di mana nilai turunan kedua berubah tanda (positif ↔ negatif). Titik ini dianggap sebagai kandidat tepi dalam citra.

Kesimpulan: Turunan kedua membantu mendeteksi tepi dengan mencari zero crossing, yaitu lokasi perubahan intensitas paling tajam dalam sebuah citra.

Operator Laplace digunakan untuk mendeteksi tepi pada citra dengan memeriksa perubahan intensitas dari semua arah (atas, bawah, kiri, kanan, dan diagonal).

Ciri-ciri:
- Menggunakan kernel 3×3
- Lebih sensitif terhadap detail dan noise

Kernel tanpa diagonal:

\( \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)

Kernel dengan diagonal:

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -8 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)

Langkah deteksi:
1. Lakukan padding untuk memproses tepi citra
2. Lakukan konvolusi dengan kernel
3. Cari zero crossing (perubahan tanda nilai) untuk menentukan lokasi tepi

Catatan: Operator ini rentan terhadap tepi palsu karena noise, sehingga sering dipadukan dengan Gaussian smoothing.

Operator LoG menggabungkan dua langkah utama:
1. Menghaluskan gambar dengan Gaussian blur untuk meredam noise.
2. Mendeteksi tepi dengan operator Laplacian (turunan kedua).

Kenapa perlu LoG?
Deteksi tepi langsung dengan Laplacian sering menghasilkan banyak zero crossing palsu akibat noise. Dengan menghaluskan gambar terlebih dahulu menggunakan Gaussian blur, hasil deteksi tepi menjadi lebih bersih dan akurat.

Rumus LoG:
\[ \text{LoG}(x,y) = -\frac{1}{\pi\sigma^{4}} \left(1 - \frac{x^2 + y^2}{2\sigma^{2}}\right) e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^{2}}} \]

Rumus ini berasal dari turunan kedua fungsi Gaussian 2D: \[ G(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma^{2}} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^{2}}} \]

Semakin besar nilai sigma (σ), kernel LoG akan semakin lebar dan halus.

Proses deteksi tepi dengan LoG:

1. Konvolusi citra dengan kernel LoG menghasilkan peta respons dengan nilai positif dan negatif.
2. Cari zero crossing, yaitu titik perubahan tanda antar tetangga.
3. Terapkan threshold untuk menentukan apakah perubahan tersebut signifikan dan dianggap tepi, atau diabaikan karena kemungkinan noise.