SUBBAB 3: Operator Turunan Pertama

Setelah selesai mempelajari materi, mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep deteksi tepi menggunakan turunan pertama.

Pada deteksi tepi citra digital, kita ingin mengetahui apakah ada perubahan kecerahan (intensitas) antara satu piksel dengan piksel-piksel di sekitarnya. Namun, berbeda dengan fungsi matematika yang sifatnya kontinu (memiliki selisih yang sama antar nilai), citra digital terdiri dari piksel-piksel diskrit (terpisah) yang nilainya bisa berubah secara tiba-tiba. Oleh karena itu, kita tidak bisa langsung menghitung turunan pertama seperti dalam fungsi kontinu.

Sebagai gantinya, kita menghitung selisih nilai antar piksel yang berdekatan untuk memperkirakan tingkat perubahan intensitas. Perbedaan ini dihitung dalam arah tertentu, seperti:

• Horizontal (dari kiri ke kanan)
• Vertikal (dari atas ke bawah)

Proses ini dikenal sebagai deteksi tepi, dan didasarkan pada prinsip turunan pertama dalam bentuk diskret untuk mengenali tempat-tempat dalam gambar yang mengalami perubahan tajam.

Turunan pertama dalam arah horizontal mengukur perubahan intensitas antara piksel yang berada di kanan dan kiri piksel pusat. Ini membantu mendeteksi tepi vertikal pada gambar dengan melihat perubahan intensitas secara lokal.

Turunan pertama arah horizontal secara diskrit dapat didekati dengan rumus:

$$\frac{\partial f}{\partial x} \approx \frac{f(x+1, y) - f(x-1, y)}{2}$$

Di mana:

• \( f(x, y) \) adalah intensitas piksel pada koordinat \( (x, y) \).
• \( f(x+1, y) \) adalah intensitas piksel di sebelah kanan piksel pusat.
• \( f(x-1, y) \) adalah intensitas piksel di sebelah kiri piksel pusat.

Untuk piksel pada tepi gambar (misalnya indeks 0 atau indeks terakhir), turunan dapat dihitung dengan menggunakan forward difference atau backward difference, yaitu:

Forward Difference:
$$\frac{\partial f}{\partial x} \approx f(x+1, y) - f(x, y)$$

Backward Difference:
$$\frac{\partial f}{\partial x} \approx f(x, y) - f(x-1, y)$$

Contoh:

Gambar 3.1 menunjukkan citra grayscale ukuran 4×4 dan nilai pikselnya:

Citra Grayscale 4×4	Input Matriks

Gambar 3.1 Citra untuk menghitung turunan pertama

Kita ambil baris pertama pada matriks piksel tersebut.

\[ [10 \quad 11 \quad 117 \quad 115] \]

Kita akan menghitung turunan horizontal pada beberapa piksel menggunakan rumus di atas:

Hasil ini menunjukkan adanya perubahan intensitas yang signifikan antara piksel indeks 1 dan 2, yang mengindikasikan keberadaan tepi vertikal pada citra. Berikut adalah grafik hasil perhitungan pertama horizontal tersebut.

Gambar 3.2 Grafik hasil turunan pertama horizontal

• Grafik kiri menunjukkan nilai intensitas piksel pada setiap indeks kolom (horizontal).
• Terlihat kenaikan tajam dari piksel indeks 1 ke 2 (dari 11 ke 117).
• Grafik kanan adalah turunan pertama (∂f/∂x) atau selisih intensitas antar piksel secara horizontal.
• Turunan terbesar terjadi di indeks 1 dan 2 (nilai 53.5 dan 52), sesuai dengan perubahan besar pada grafik kiri.
• Turunan negatif di indeks 3 menandakan penurunan intensitas dari piksel sebelumnya.
• Piksel indeks 0 menggunakan forward difference, indeks 1 dan 2 menggunakan central difference, dan indeks 3 menggunakan backward difference.

Turunan pertama dalam arah vertikal mengukur perubahan intensitas antara piksel yang berada di atas dan di bawah piksel pusat. Ini membantu mendeteksi tepi horizontal pada gambar dengan melihat perubahan intensitas secara lokal.

Turunan pertama arah vertikal secara diskrit dapat didekati dengan rumus:

$$\frac{\partial f}{\partial y} \approx \frac{f(x, y+1) - f(x, y-1)}{2}$$

Di mana:

• \( f(x, y) \) adalah intensitas piksel pada koordinat \( (x, y) \).
• \( f(x, y+1) \) adalah intensitas piksel di bawah piksel pusat.
• \( f(x, y-1) \) adalah intensitas piksel di atas piksel pusat.

Untuk piksel pada tepi atas atau bawah gambar (misalnya baris pertama atau terakhir), turunan dapat dihitung dengan menggunakan forward difference atau backward difference, yaitu:

Forward Difference:
$$\frac{\partial f}{\partial y} \approx f(x, y+1) - f(x, y)$$

Backward Difference:
$$\frac{\partial f}{\partial y} \approx f(x, y) - f(x, y-1)$$

Contoh:

Menggunakan citra yang sama seperti sebelumnya, kita ambil kolom pertama pada matriks piksel tersebut.

\[ \begin{bmatrix} 10 \\ 12 \\ 115 \\ 117 \end{bmatrix} \]

Kita akan menghitung turunan vertikal pada beberapa piksel menggunakan rumus di atas:

Hasil ini menunjukkan adanya perubahan intensitas yang signifikan antara piksel pada baris 1 dan 2, yang mengindikasikan keberadaan tepi horizontal pada citra. Berikut adalah grafik hasil perhitungan pertama vertikal tersebut.

Gambar 3.3 Grafik hasil turunan pertama vertikal

• Grafik kiri menunjukkan intensitas piksel pada setiap indeks baris (vertikal).
• Terlihat lonjakan signifikan dari piksel indeks 1 ke 2 (dari 12 ke 115).
• Grafik kanan adalah turunan pertama (∂f/∂y) atau perubahan intensitas antar baris secara vertikal.
• Turunan tertinggi terjadi pada indeks 1 dan 2 dengan nilai 52.5, sesuai dengan perubahan besar pada grafik kiri.
• Turunan kecil (nilai 2) di indeks 0 dan 3 menunjukkan perubahan yang relatif kecil di area tersebut.
• Indeks 0 menggunakan forward difference, indeks 1 dan 2 menggunakan central difference, dan indeks 3 menggunakan backward difference.