SUBBAB 5: Operator Turunan Kedua

Setelah selesai mempelajari materi, mahasiswa diharapkan:

• Mampu mengenal konsep dan bentuk kernel operator Laplace.
• Mampu melakukan konvolusi citra dengan kernel Laplace menggunakan teknik padding.
• Mampu melakukan tahapan lanjutan operator laplace, yaitu zero crossing.

Operator Laplace adalah cara untuk menemukan tepi pada gambar dengan melihat perubahan kecerahan di sekitar satu piksel. Kalau ada piksel yang dikelilingi piksel-piksel yang berbeda terang atau gelapnya secara mencolok, maka di situlah kemungkinan ada titik tepi. Berbeda dengan metode lain yang hanya melihat kiri-kanan (horizontal) atau atas-bawah (vertikal), Laplace melihat ke segala arah, yaitu atas, bawah, kiri, kanan, bahkan diagonal.

Gambar 5.4 merupakan contoh hasil pendeteksian tepi dengan operator Laplace.

Gambar 5.4 Hasil pendeteksian tepi operator Laplace

Rumus Diskrit Operator Laplace Tanpa Diagonal

Ini versi sederhana yang hanya melihat 4 tetangga utama: atas, bawah, kiri, kanan.

Artinya:

• f(x, y) adalah piksel pusat.
• (x+1,y),f(x−1,y) → piksel kanan dan kiri.
• f(x,y+1),f(x,y−1) → piksel atas dan bawah.
• Nilai-nilai tetangga ditambahkan, nilai pusat dikalikan -4

Rumus Diskrit Operator Laplace dengan Diagonal

Versi ini lebih lengkap karena menghitung semua 8 tetangga (atas, bawah, kiri, kanan, dan diagonal).

\[ \nabla^2 f(x, y) \approx f(x+1, y) + f(x-1, y) + f(x, y+1) + f(x, y-1) + f(x+1, y+1) + f(x-1, y-1) + f(x-1, y+1) + f(x+1, y-1) - 8f(x, y) \]

Artinya:

• f(x, y) adalah nilai piksel pusat (titik yang sedang dihitung).
• f(x+1, y), f(x−1, y) adalah piksel di kanan dan kiri.
• f(x, y+1), f(x, y−1) adalah piksel atas dan bawah.
• f(x+1, y+1), f(x−1, y−1), f(x−1, y+1), f(x+1, y−1) adalah piksel diagonal: kanan bawah, kiri atas, kiri bawah, dan kanan atas.
• Semua 8 tetangga dijumlahkan.
• Nilai pusat dikalikan -8.

Dari rumus turunan diskrit sebelumnya, bisa diterjemahkan langsung menjadi matriks kernel Laplace, yang tinggal kamu geser (konvolusi) ke seluruh gambar. Laplace menggunakan kernel berbentuk kotak 3×3 untuk melihat selisih nilai antara piksel tengah dan tetangganya. Berikut contoh kernel paling sederhana:

• Tanpa Diagonal
  $$ G_x = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$
• Dengan Diagonal
  $$ G_x = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -8 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

Setiap kernel ini akan menghitung seberapa besar perubahan kecerahan antara dua piksel diagonal yang berdekatan.

Penjelasan angka-angka dalam kernel:
Setiap angka di dalam matriks kernel Laplace memiliki arti khusus yang berhubungan dengan perbedaan intensitas antar piksel:

• Nilai negatif di tengah (misalnya -4 atau -8) menunjukkan bahwa piksel pusat diberi bobot negatif yang besar. Artinya, nilai intensitas piksel pusat akan dikurangi dengan jumlah kontribusi dari piksel-piksel tetangganya.
• Nilai positif di sekelilingnya (biasanya 1) menandakan bahwa tetangga-tetangga piksel ikut memberikan kontribusi dalam mendeteksi perubahan. Semakin banyak nilai positif, semakin luas area konvolusi.

Contoh Perhitungan dengan Operator Laplace

Gambar 5.5 menunjukkan citra ukuran 4x4 beserta nilai pikselnya yang akan kita gunakan untuk mendeteksi tepi dengan operator Laplace.

Gambar 5.5 Citra 4x4 untuk perhitungan operator Laplace

Berikut adalah kernel Laplace tanpa diagonal yang akan digunakan.

Kita akan melakukan pendeteksian tepi pada matriks di atas menggunakan operator Laplace dan teknik edge padding.

Langkah 1: Teknik Edge Padding

Langkah pertama yang dilakukan sebelum proses konvolusi adalah melakukan teknik padding, yaitu edge padding. Teknik ini menambahkan baris atau kolom di tepi matriks dengan menyalin nilai dari elemen tepi yang ada. Tujuannya adalah agar semua piksel pada citra dapat diproses dengan filter tanpa kehilangan informasi di tepi.

• Ukuran filter: \( f = 3 \)
• Maka padding: \( p = \left\lfloor \frac{3 - 1}{2} \right\rfloor = 1 \)
• Tambahkan 1 baris di atas dan bawah serta 1 kolom di kiri dan kanan

Berikut adalah hasil matriks setelah dilakukan teknik edge padding terhadap matriks input pada gambar:

Langkah 2: Konvolusi dengan Kernel Laplace

Sebelum memulai proses konvolusi, kita perlu menentukan ukuran matriks output yang akan dihasilkan.

• Ukuran awal matriks (input): \( 4 \times 4 \)
• Ukuran kernel: \( 3 \times 3 \)
• Padding: \( p = 1 \)
• Stride: \( 1 \)
• Maka ukuran output: \[ \left( \frac{4 - 3 + 2 \times 1}{1} \right) + 1 = (3) + 1 = 4 \] Jadi, ukuran output adalah \( 4 \times 4 \)

Selanjutnya, kita akan mulai melakukan konvolusi.

Gunakan dropdown untuk memilih kernel yang akan digunakan, lalu klik tombol Mulai Konvolusi.

Hasil konvolusi menunjukkan bahwa titik dengan nilai paling tinggi ada di piksel (0, 2), (1, 2), (2, 2) dan (3, 2) dengan nilai positif sekitar 75, 73, 73 dan 72, menandakan adanya tepi kuat di posisi tersebut. Sebaliknya, nilai negatif seperti -46, -47, -53 dan -48 mengindikasikan perubahan intensitas drastis di area tersebut. Pola ini menggarisbawahi adanya transisi tajam terutama pada baris dan kolom tengah yang menandai kontur atau batas objek dalam citra.

Langkah 3: Cari Zero Crossing

Di langkah ini, kita mencari titik di mana nilai Laplace berubah tanda (zero crossing) di antara tetangga-tetangganya. Titik-titik ini penting untuk mendeteksi tepi citra yang signifikan.

Hasil zero crossing menunjukkan posisi tepi dengan nilai 1, yaitu tempat terjadinya perubahan tanda (positif ke negatif atau sebaliknya) pada hasil Laplace. Titik-titik ini menandai lokasi di mana terjadi perbedaan intensitas yang signifikan yang mengindikasikan keberadaan tepi. Area dengan nilai 0 berarti tidak ada perbedaan tanda pada tetangganya, sehingga tidak dianggap sebagai tepi.

Operator Laplace sering mendeteksi zero crossing palsu, sehingga diperlukan pra-pemrosesan gambar yang akan dibahas pada materi selanjutnya.